§8.1（续）二元函数的极限方法与连续性

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一、二元函数求极限的方法

方法1：转化为一元函数极限

通过变量替换或等价无穷小，将二元极限转化为一元极限。

例1：$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sin (x+y)}{x+y}$

令 $u=x+y$，当 $(x,y)\to (0,0)$ 时 $u\to 0$，原式 $={\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$

例2：$\underset{(x,y)\to (0,2)}{\lim }(1+\sin xy{)}^{\frac{1}{xy}}$

令 $u=xy$，$u\to 0$，原式 $={\lim }_{u\to 0}(1+\sin u{)}^{\frac{1}{u}}=e$

方法2：夹逼准则（重要考点）

核心思路：预先通过某些途径算出极限值 $A$，再证明 $|f(x,y)-A|\le g(x,y)\to 0$

${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A⟺{\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}|f(x,y)-A|=0$

例3：$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$0\le \left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|=|x|\cdot \frac{|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le |x|\to 0$

故极限 $=0$。

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二、求二元函数极限的两种常见错误 ⚠️

错误1：盲目使用极坐标代换

令 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$，错误地认为：

${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)={\lim }_{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$

反例：$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x+y}$，极坐标化为 ${\lim }_{r\to 0}\frac{r\cos \theta \sin \theta }{\cos \theta +\sin \theta }=0$

但实际上沿 $y=-x+k{x}^2$ 趋于 $(0,0)$：

${\lim }_{x\to 0}\frac{x(-x+k{x}^2)}{x+(-x+k{x}^2)}={\lim }_{x\to 0}\frac{-x^2+k{x}^3}{k{x}^2}=-\frac{1}{k}$

随 $k$ 变化，极限不存在！极坐标法失效。

问题根源：$\theta$ 随 $r\to 0$ 可以变化（不固定），$\theta$ 的依赖性可能掩盖极限的不存在性。

另一反例：$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}$，极坐标得 0，但沿 $y=x^2$ 得 $\frac{1}{2}$。

错误2：用二次累次极限代替二重极限

错误地认为：$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$

重要结论：二重极限与二次累次极限是不同概念。但若三者都存在，则必相等。

实际作用：在用夹逼准则时，可先通过二次极限猜出极限值 $A$。

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三、二元函数的连续性

定义

设 $f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若：

${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$

则称 $f(x,y)$ 在 $P_0$ 处连续。

等价形式（增量形式）：

${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]={\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\Delta z=0$

区域上的连续性

• 若 $f$ 在 $D$ 内每一点连续 → $f$ 在 $D$ 内连续
• 若 $f$ 在边界点上也连续 → $f$ 是闭区域上的连续函数

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四、与一元函数连续的相同点

1. 运算性质

连续函数的和、差、积、商（分母不为零）以及复合函数仍连续。

2. 多元初等函数

由常数及不同自变量的一元基本初等函数，经有限次四则运算和复合运算得到，在其定义区域内均是连续的。

重要推论：多元初等函数在定义区域内任意点处的极限值 = 函数值。

3. 有界闭区域上连续函数的性质

若 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则：

定理	内容
有界性定理	$f(P)$ 在 $D$ 上有界
最值定理	$f(P)$ 在 $D$ 上可取到最大值 $M$ 和最小值 $m$
介值定理	$f(P)$ 可取到介于 $m$ 和 $M$ 之间的任何值

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五、典型例题

例4（含参变限积分）

${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{{\int }_0^{x^2+y^2}\sin t^{2}dt}{(x^2+y^2{)}^2}$

分析：令 $u=x^2+y^2$，原式 $={\lim }_{u\to 0}\frac{{\int }_0^u\sin t^{2}dt}{u^2}$， 洛必达：${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u^2}{2u}={\lim }_{u\to 0}\frac{u^2}{2u}=0$

例5（证连续性）

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$

证明 $f$ 在原点连续：

$0\le |f(x,y)-0|=\frac{|xy|\cdot |x^2-y^2|}{x^2+y^2}\le |xy|\to 0$

故 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，连续。

例6（讨论连续性）

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1+xy)}{x}& x\ne 0\\ y& x=0\end{array}$

讨论 $f$ 在 $D$ 上的连续性：

• 当 $x_0\ne 0$：由初等函数连续性，在 $(x_0,y_0)$ 处连续
• 当 $x_0=0$：${\lim }_{(x,y)\to (0,y_0)}f(x,y)=\lim \frac{\ln (1+xy)}{x}=\lim \frac{xy}{x}=y_0=f(0,y_0)$，也连续

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关键词汇总

方法/概念	要点
化为一元极限	变量替换 $u=g(x,y)$，等价无穷小
夹逼准则	先猜到 $A$，证 $|f-A|\to 0$
极坐标错误	$\theta$ 可随 $r$ 变化，不能仅证 $\forall \theta$ 有相同极限
累次极限	≠ 二重极限；都存在则必相等
连续定义	$\lim f=f(x_0,y_0)$ 或 $\Delta z\to 0$
多元初等函数	定义区域内连续，极限 = 函数值
闭区域连续性质	有界性 + 最值 + 介值