§6.3(4) 二阶常系数非齐次线性微分方程

一、基本形式与解法

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)(p,q\text{ 为常数})$

解法：通解 $y=y_c+y_p$（齐通 + 非齐特），用待定系数法求 $y_p$。

二、$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$ 型特解公式

$\text{设 }{y}_p=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$

其中 $Q_m(x)$ 为 $m$ 次待定多项式，$k$ = $\lambda$ 作为特征根的重数：

$k$	$\lambda$ 与特征根的关系	$y_p$ 形式
0	$\lambda$ 不是特征根	$Q_m(x)e^{\lambda x}$
1	$\lambda$ 是单根	$x\cdot Q_m(x)e^{\lambda x}$
2	$\lambda$ 是重根	$x^2\cdot Q_m(x)e^{\lambda x}$

推导原理

将 $y_p=Q(x)e^{\lambda x}$ 代入方程得： $Q^{\prime \prime }+(2\lambda +p)Q^{\prime }+({\lambda }^2+p\lambda +q)Q=P_m(x)$

• ${\lambda }^2+p\lambda +q\ne 0$（非特征根）→ 直接设 $m$ 次多项式
• ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$ 但 $2\lambda +p\ne 0$（单根）→ 需乘 $x$
• ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$ 且 $2\lambda +p=0$（重根）→ 需乘 $x^2$

三、常见 $f(x)$ 形式的特解设表

$f(x)$ 形式	$y_p$ 待定形式	条件
$P_m(x)$	$x^k{Q}_m(x)$	$k$ = 0是否为特征根的重数
$C{e}^{\lambda x}$	$A{x}^k{e}^{\lambda x}$	$k$ = $\lambda$ 作为特征根的重数
$P_m(x)e^{\lambda x}$	$x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$	同上
$e^{\alpha x}\cos \beta x$	$x^k{e}^{\alpha x}(A\cos \beta x+B\sin \beta x)$	$k$ = $\alpha +i\beta$ 作为特征根的重数
$e^{\alpha x}\sin \beta x$	同上	同上

四、典型例题

例1：多项式型（$\lambda =0$）

$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=6x+1$

特征根 $r_1=2,r_2=3$，$\lambda =0$ 不是特征根 → $k=0$， 设 $y_p=ax+b$，代入解得 $a=1,b=1$ → $y_p=x+1$。

例2：指数型（$\lambda$ 为特征根）

$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=x{e}^{2x}$

$\lambda =2$ 是单根 → $k=1$， 设 $y_p=x(ax+b)e^{2x}$，代入待定系数求解。

例3：重根型

$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=x{e}^{2x}$

特征根 $r_1=r_2=2$（重根），$\lambda =2$ 是重根 → $k=2$， 设 $y_p=x^2(ax+b)e^{2x}$。

例4：三角函数型

$y^{\prime \prime }+y=\sin x$

特征根 $r=\pm i$，$\alpha +i\beta =i$ 是特征根 → $k=1$， 设 $y_p=x(A\cos x+B\sin x)$。

五、欧拉方程 (Euler-Cauchy)

$x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=0(p,q\text{ 常数})$

解法：令 $y=x^m$，得辅助（特征）方程： $m(m-1)+pm+q=0$

辅助方程根	通解
两不等实根 $m_1\ne m_2$	$y=C_1{x}^{m_1}+C_2{x}^{m_2}$
重根 $m_1=m_2$	$y=(C_1+C_2\ln x)x^{m_1}$
共轭虚根 $m=\alpha \pm i\beta$	$y=x^{\alpha }[C_1\cos (\beta \ln x)+C_2\sin (\beta \ln x)]$

例：$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-4y=0$， 辅助方程 $m(m-1)+m-4=0$ → $m^2-4=0$ → $m=\pm 2$， 通解 $y=C_1{x}^2+C_2{x}^{-2}$。

六、解题流程

1. 写特征方程 r²+pr+q=0，求特征根
2. 写齐次通解 y_c
3. 看 f(x) 形式 → 设 y_p 含待定系数
4. 判断 λ (或 α+iβ) 与特征根关系 → 确定 x^k
5. 代入原方程，比较系数，求得 y_p
6. 通解 y = y_c + y_p